[solved.ac 실버4] 17626_Four Squares (DP풀이)

제한 사항

문제

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

예제

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나의 풀이

DP로 풀이했다.

def four_squares(n):
    d = [10] * (n+1)
    d[1] = 1
    for i in range(2, n+1):
        if (i**0.5).is_integer(): d[i]=1; continue
        for j in range(1, int(i ** 0.5) + 1):
            d[i] = min(d[i], d[i-j**2]+1)
    return d[n]
print(four_squares(int(input())))

n까지 담을 수 있는 DP 테이블인 d를 선언하고 10으로 초기화한다.

문제에 따르면 어떤 자연수든 최대 4개의 방법으로 표현할 수 있다고 했으니 4보다 큰 어떤 수로든 초기화해도 된다.

어떤 수가 제곱수인지 확인하려면 제곱근이 자연수인지 확인하면 된다. is_integer()로 확인할 수 있다.

제곱수라면 자체적으로 표현 가능하므로 1을 저장하고 1보다 작은 수는 없으니 continue로 이후의 과정들을 넘어간다.

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제곱수가 아니라면 d[i]에 저장된 값과 d[i-j^2]에 저장된 값+1 중 더 작은 값을 d[i]에 저장한다.

곰곰히 생각해보면 d[i-j**2]에 저장된 값의 의미를 깨달을 수 있을 것이다. ( +1을 하는 이유도 마찬가지로 생각해보자)

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d의 크기를 n+1만큼 생성했기에 d의 최대 인덱스는 n이다. 즉 d[n] 혹은 d[-1]을 리턴해주면 된다.

사용자에게 입력 받은 값을 매개변수로 하여 four_squares 함수에 넣어서 나온 결과를 출력하면 답이 된다.

※ 시간 제한이 0.5초로 매우 짧기 때문에 pypy3가 아닌 python3로 제출하면 시간 초과가 발생할 수도 있다.

채점 결과